數值分析：從標量到向量：非線性系統的挑戰

從單一方程式 $f(x)=0$ 轉換到多變量系統，是解決複雜工程問題的關鍵，從軌道力學到土壤結構分析皆適用。我們不再尋找直線上的一個簡單零點，而是尋找 $n$ 維空間中 $n$ 個超曲面的同時交集。

1. 數學結構

一個非線性系統可表示為一組方程式，其中每個分量函數都依賴於未知向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$：

$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$

我們將其簡化為向量形式的核心公式：

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$

其中 $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$。各個函數 $f_i$ 被稱為 $\mathbf{F}$ 的 座標函數 的座標函數。

2. 解析基礎與連續性

為求解這些系統的數值解，我們必須確保映射行為良好。定義 10.1–10.3 指出，$\mathbb{R}^n$ 中的極限與連續性是根據 分量式來決定的。

定義 10.3

設 $\mathbf{F}$ 是定義在 $D \subset \mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的函數。若且唯若：

$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ 對每一 $i=1, \dots, n$ 成立。

利用 $\epsilon-\delta$ 定義：對任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$，就有 $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$。

常見錯誤：範數獨立性

關鍵細節：儘管可使用各種範數（如 $\ell_1, \ell_2, \ell_\infty$）， 連續性與所選範數無關極限的存在性在 $\mathbb{R}^n$ 的任意向量範數下均不變。

3. 理論回顧

定理 1.6： 對於從 $\mathbb{R}$ 映射至 $\mathbb{R}$ 的函數，連續性通常可透過證明可微性來建立。在多變量情況下，若座標函數的偏導數存在且有界，則可保證連續性，這正是迭代求解器的先決條件。

經典範例：範例 1

考慮土壤上圓形板的問題。將此 $3 \times 3$ 非線性系統置於標準形式 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$：

$3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
$x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
$e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$

這裡，$\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$，且 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$。

問題 1

給定向量映射 $\mathbf{F}(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + 2x_3, x_1 \cos x_2, x_2^2 + x_3)^t$，為什麼 $\mathbf{F}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 的每一點都連續？

因為它是線性映射，而所有線性映射都是連續的。

因為每個座標函數 $f_i$ 都是基本連續函數（多項式與餘弦）的和或乘積。

因為雅可比矩陣的行列式為常數。

因為它將 $\mathbb{R}^3$ 映射至 $\mathbb{R}^3$ 的封閉且有界子集。

問題 2

以下哪個函數 $\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 在除了 $(1, 0)$ 外的所有點都連續？

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (x_1 - 1, x_2)^2$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (\sin(x_1 - 1), \cos x_2)$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = \left( \frac{1}{x_1 - 1}, \frac{x_2}{x_1^2 + x_2^2} \right)$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (e^{x_1}, e^{x_2})$

問題 3

當評估非線性系統的連續性時，若將向量範數從歐幾里得範數（$\ell_2$）改為最大範數（$\ell_\infty$），會如何影響向量序列的收斂性？

序列可能因此發散，因為最大範數較不敏感。

收斂性得以保留，因為有限維空間中的所有向量範數皆等價。

極限值 $L$ 會隨範數縮放而改變。

序列在 $\ell_1$ 範數下的收斂速度會比在 $\ell_2$ 範數下更快。

問題 4

牛頓法通常用於非線性系統。然而，若應用於線性系統 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$（其中 $A$ 非奇異），結果如何？

該方法失敗，因為線性系統的雅可比矩陣未定義。

該方法簡化為高斯消去法，需 $n$ 次迭代。

無論初始猜測為何，該方法可在一次迭代內達到精確解。

該方法會振盪，除非 $\mathbf{x}_0 = \mathbf{b}/n$，否則永遠無法收斂。

問題 5

在定義 $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 當 $\mathbf{x}$ 接近 $\mathbf{x}_0$ 時的極限時，條件「$0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$」代表什麼意義？

我們正在精確地計算函數在 $\mathbf{x}_0$ 點的值。

我們考慮的是穿孔鄰域，即 $\mathbf{x}_0$ 本身被排除在極限計算之外。

距離原點必須小於 $\delta$。

系統必須是線性的，極限才存在。